그래프 탐색 개념 및 유형
그래프 탐색 문제 기본 해결 방법
문제가 NxM 형태의 격자 형태를 띄거나, 노드 & 간선의 형태로 그래프 및 트리의 형태를 갖게 되는 경우 그래프 탐색 및 최단경로 탐색 알고리즘을 문제 해결 알고리즘으로 염두에 두어야 한다.
관련 유형 문제로는 아래와 같은 예시를 들 수 있다. 프로그래머스 코딩테스트 페이지를 참고하자.
알고리즘
Breadth First Search를 통해서는 노드를 탐색할 때 같은 깊이의 노드들을 같이 탐색하므로(큐를 이용하기 때문), answer을 탐색할 때 최소깊이/최소간선 수 를 보장하지만, 그래프의 깊이가 깊고 큰 그래프의 경우 공간복잡도가 커질 우려가 있다.
코딩테스트 선에서는 크게 고려할 필요는 없다.
격자 형태를 띄는 문제에, 시작 지점으로부터 몇 번을 이동해야 하는 지 등의 정형화된 count 관련 문제라면 BFS를 사용하는 것이 편리하다.
Depth First Search는 보통 재귀적인 형태를 사용한다는 특성과 결합되어 완전탐색(브루트포스) 유형의 문제와 결합되어 사용되는 경향이 강하다고 느꼈다. 왠만한 그래프 문제는 BFS 형태의 솔루션으로 해결이 가능하나, 재귀적인 형태로 함수를 반복 실행하여 N개 중 M개를 선택해야하는 경우와 같은 유형에는 BFS + end condition 을 설계하여 문제를 해결하는 것이 편리하다.
최단경로탐색 알고리즘은 방향/무방향 그래프 형태의 문제에서 간선간 weight 혹은 연결정보를 이용한 문제에 사용된다. 정해진 출발지점으로부터 다른 모든 노드들까지의 최단 경로를 확인해야 할 때는 다익스트라 알고리즘을 사용해야 하며, 모든 노드들 간의 최단경로를 파악해야 하고, 노드의 수가 많지 않을 때는 플로이드-워셜 알고리즘(중첩 3 for 문)을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.
기본 DFS BFS 접근법
DFS(Depth First Search)
첫 번째 방법: 재귀 + visited 배열 사용하기
// Recursive Approach 예시
void dfs_search(vector<int> graph[], int vertex, bool _visited[]){
for(int i=0; i<(int)graph[vertex].size(); i++){
int next = graph[vertex][i];
if(!_visited[next]){
_visited[next] = true;
cnt ++;
dfs_search(graph, next, _visited);
}
}
return;
}
int main(){
/// initiative area
_visited[start] = true;
dfs_search(graph, start, _visited);
/// end area
}재귀적 방식에는 종료조건을 항상 유의해야 한다.
또한, DFS의 특성상 '최소'를 보장하지 못하기 때문에, visited 배열을 잘 활용해야한다는 것에 유의해야 한다.
(그래서 보통 '최소', '최단' 을 구하기 위해서 나는 BFS를 사용하는 것이 편했다.)
두 번째 방법: while + stack + visited 배열
// Stack Approach 예시
void dfs_connect_check(int start, vector<int> graph[], vector<bool> visited, stack<int> dfs_stack){
int current;
dfs_stack.push(start);
visited[start] = true;
while(!dfs_stack.empty()){
current = dfs_stack.top();
dfs_stack.pop();
//cout << "current: "<< current << " size: " << graph[current].size() << endl;
for(int next=0; next<graph[current].size(); next++){
//cout << "next: " << graph[current][next] << endl;
int next_node = graph[current][next];
if(!visited[next_node]){
//cout << "next node: " << next_node << endl;
visited[next_node] = true;
dfs_stack.push(next_node);
cnt++;
}
}
}
return;
}스택 또한 visited 배열을 사용해야 한다는 점에 유의해야 한다(반복적으로 스택에 계속 새 노드를 집어 넣는 것을 방지하기위함 - 시간 초과 가능!)
또한 visited를 먼저 true로 작성한 뒤 스택에 넣고 pop 해야 하는 것에 유의해야 한다(Queue도 마찬가지!)
처리하지 않으면, 중복으로 같은 노드를 무한정 Stack에 집어넣게 되어 Stack memory 초과가 발생한다.
나는 Stack 보다는 직관적인 Recursive Approach가 더 편했다.
BFS(Breadth First Search)
while + queue + visited 배열
// Queue를 이용한 BFS 그래프 탐색 방법
int Search_BFS(char in){
// 여기선 큐에 첫 원소를 넣는 과정은 생략되어 있다.
int x, y, result = 0;
char target_color = in;
while(!Queue.empty()){
result += 1;
x = Queue.front().first;
y = Queue.front().second;
Queue.pop();
for(int d=0; d<4; d++){
int nx = x + dir[d][0];
int ny = y + dir[d][1];
if(InRange(nx, ny) && !visited[nx][ny] && graph[nx][ny] == target_color){
visited[nx][ny] = true;
Queue.push(make_pair(nx, ny));
}
}
}
return result;
}예시를 위해 넣어놨으니 핵심만 보자.
Queue에 먼저 탐색의 시작 노드를 넣는 것이 첫 번째,
큐에 가장 먼저 들어간 노드를 pop 하여 해당 노드를 기준으로 다음 노드를 탐색(여기서는 graph[][] 를 기준으로 x축, y축 이동을 하며 서치하는 것)하는 것이 두 번째,
조건에 맞는 노드 발견 시, 스택과 마찬가지로 visited를 먼저 true로 변경한 다음 큐에 push 하는 것이 마지막이다.
참고로, 어떠한 최소의 지점을 발견하는 문제라면 BFS에서도 종료조건을 넣어주는 것이 좋다(while문 탈출조건)
큐에서 pop한 노드가 문제의 어떠한 조건을 만족할 경우 해당 노드에서 더 이상 다음 노드를 탐색하지 않고 종료하는 것이 시간을 단축시킬 수 있는 방법 중 하나이다.
while(!Queue.empty()){
// queue pop
// pop 노드가 큐의 특정 조건에 해당되면 아예 return 하는 것도 방법이다.
if(x == N-1 && y == M-1){
answer = cnt;
return;
}
// queue push
}
최단경로 탐색 알고리즘
다익스트라 알고리즘
고정된 한 정점으로부터 다른 모든 정점으로까지의 최단 경로를 update하는 방식으로 최단경로릍 탐색하는 알고리즘이며, 방문했던 정점을 다시 방문하는 비효율을 없애기 위해서 '우선순위 큐'를 사용한다. 우선순위 큐에는 따라서 탐색하고자 하는 정점과 해당 정점까지의 weight의 합을 pair<int, int>로 저장하며, '최대 힙'으로 default된 우선순위 큐의 정렬 방식에 따라 weight 값은 음수로 저장한다.
void D_function(int n, int idx){
int col;
distance_array[idx] = 0;
// priority queue
priority_queue<pair<int, int>> pq;
pq.push({0, idx});
while(!pq.empty()){
int weightsum = -pq.top().first;
int cnode = pq.top().second;
pq.pop();
for(int i=1; i<=n; i++){
if(road[cnode][i] != _MAX){
int weight = weightsum + road[cnode][i];
int nnode = i;
if(weight < distance_array[nnode]){
distance_array[nnode] = weight;
pq.push({-weight, nnode});
}
}
}
}
}
각 정점간 weight 값은 임의로 2차원 배열을 생성하여 저장해둔다(나는 int 형 2차원 배열 안에 weight를 저장하는 게 편했다).
주의할 점
- 우선순위 큐를 초기화 할 때는, 탐색을 시작하고 싶은 고정 정점을 priority queue에 push 하되, weight 값은 '해당 노드까지 이동하는 데 소요된 최소 weight 값'이 저장되어야 하므로, 0으로 초기화해서 시작해야 한다.
- 그래프 연결정보를 확인하며 연결된 노드를 가지고 계산하는 데에는 BFS와 구조가 같으나, weightsum + new_weight가 업데이트하고 싶은 최단 경로 값보다 작은 경우에만 priority queue에다가 push 해주어야 한다는 점을 유의해야 한다(아직 어색하다)
- 최대 힙 기준에 따라 정렬되는 우선순위 큐이므로 - 를 붙인 weight를 push 해주고 - 해서 pop 해야 한다.
- visited가 따라서 필요 없다. weight가 기존보다 작지 않으면 업데이트 안 하므로.
플로이드-워셜 알고리즘
모든 정점을 중간 지점으로 설정하고, A 지점에서 B 지점으로 가는 경로가 중간 지점을 거쳐 가는 것이 더 짧은 것인지를 판단하고 update하는 알고리즘이다. 3중첩 for문을 이용하므로, 노드가 많다면 시간 복잡도를 고려해야 한다.
// 1. init
for(int i=0; i<results.size(); i++)
graph[results[i][0]][results[i][1]] = 1;
// 2. floyd - 방향 그래프의 weight 값.
for(int k=1; k<=n; k++){
for(int i=1; i<=n; i++){
for(int j=1; j<=n; j++){
if(graph[i][j] > graph[i][k] + graph[k][j])
graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j]; // 이렇게 하는게 그냥 단순히 경로를 더하는 것(최단경로)
}
}
}
그래프 이론, 그래프 탐색 문제 풀이
그래프 탐색에서의 응용문제는 아직까지는(~골드 4) 다음과 같이 정리되는 것으로 경험하였다.
- visited 배열의 응용: 배열을 언제 초기화 하고 언제 다시 만드는가
- 다음 노드의 탐색 과정의 수학적 접근: 해당 노드의 값에서 max, min 또는 간단한 사칙연산(ex. 백준 12886)
- DFS 혹은 BFS 과정의 설계 복잡성: 다음 노드를 어떤 조건에서 스택 혹은 큐에 넣어야 하는지를 어렵게 만듦(ex. 백준 16928) 또한, 새 노드를 탐색하기 위해 아예 새로운 배열을 선언해야 할 수도 있음에 주의!
응용문제
1. https://school.programmers.co.kr/learn/courses/30/lessons/49191
2. https://school.programmers.co.kr/learn/courses/30/lessons/72413
3. https://www.acmicpc.net/problem/16928
참고한 사이트
1. https://school.programmers.co.kr/learn/challenges?tab=algorithm_practice_kit
2. https://school.programmers.co.kr/learn/courses/30/lessons/72413